Domanda:
Derivazione della forma debole per le equazioni del fascio di eulero-bernoulli
user26767
2016-01-08 02:54:50 UTC
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Sono uno studente master e sto facendo un incarico del metodo degli elementi finiti. Nell'istruzione non riuscivo a capire la derivazione della forma debole, che non dovrebbe essere difficile. Mi dispiace per aver postato questa domanda facile e molto probabilmente non utile per altre persone.

Quindi la derivazione riguarda la forma debole della formulazione integrale della quarta ODE. È una semplice deformazione del raggio nell'intervallo 0 e L. $$ \ int_0 ^ L \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u}} {dx ^ 2} dx = ... $$$$ \ left (\ left. w EI \ frac {d ^ 3 \ hat {u}} {dx ^ 3} \ right | _ {x = 0} \ right. - \ left ( \ left. \ frac {dw} {dx} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u}} {dx ^ 2} \ right | _ {x = 0} \ right. - \ left (\ left. w EI \ frac {d ^ 3 \ hat {u}} {dx ^ 3} \ right | _ {x = L} \ right. + \ left (\ left. \ frac {dw} {dx} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u}} {dx ^ 2} \ right | _ {x = L} \ right. $$

Ho pensato all'integrazione parziale $$ \ int u (x) v '(x ) \, dx = u (x) v (x) - \ int v (x) \, u '(x) dx $$ poi sono finito $$ \ frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} \ frac {dw} {dx} - \ int \ frac {dw} {dx} \ frac {d ^ 3x} {dx ^ 3} dx $$ se continuo l'integrazione parziale fino al 2 ° termine, la derivata sarà del 4 ° ordine .. .

Come posso ottenere quanto segue? $$ \ left (\ left. w EI \ frac {d ^ 3 \ hat {u}} {dx ^ 3} \ right | _ {x = 0 } \ right. - \ left (\ left. \ frac {dw} {dx} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u}} {dx ^ 2} \ right | _ {x = 0} \ right. - \ left (\ left. w EI \ frac {d ^ 3 \ hat {u}} {dx ^ 3} \ right | _ {x = L} \ right. + \ left (\ left. \ frac {dw} { dx} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u}} {d x ^ 2} \ right | _ {x = L} \ right. $$

La tua integrazione è corretta. Tieni presente che w è una funzione di test che è zero sul confine del dominio. Pertanto, i termini moltiplicati per w sono ancora identici a zero.
L'espressione $ \ int_0 ^ L \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u}} {dx ^ 2} dx = ... $ è già nella forma debole . Perché stai integrando di nuovo questa equazione? Stai cercando di acquisire la forma forte del PDE? Spiega per favore.
la mia domanda è come si può derivare il lato destro dal lato sinistro nell'equazione, $$ \ int_0 ^ L \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u }} {dx ^ 2} dx = \ left (\ left. w EI \ frac {d ^ 3 \ hat {u}} {dx ^ 3} \ right | _ {x = 0} \ right. - \ left ( \ left. \ frac {dw} {dx} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u}} {dx ^ 2} \ right | _ {x = 0} \ right. - \ left (\ left. w EI \ frac {d ^ 3 \ hat {u}} {dx ^ 3} \ right | _ {x = L} \ right. + \ left (\ left. \ frac {dw} {dx} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u}} {dx ^ 2} \ right | _ {x = L} \ right. $$
Una risposta:
Paul
2016-01-12 21:25:43 UTC
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È più facile capire questa identità se si inizia con l'equazione differenziale parziale per l'equazione di deflessione del fascio di Eulero-bernoulli

$$ \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} \ left [EI \ frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} \ right] = 0 $$

e fatti strada fino alla forma debole.

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per una funzione di test arbitraria $ w $. Quindi applica l'integrazione per parti (solo una volta) sul dominio [0, L]. Otterrai:

$$ w \ frac {d} {dx} \ left [EI \ frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} \ right] \ bigg | _0 ^ L - \ int_0 ^ L \ left [EI \ frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} \ right] \ frac {dw} {dx} = 0. $$

Quindi, applicare nuovamente l'integrazione per parti, noi ottenere:

$$ w \ frac {d} {dx} \ left [EI \ frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} \ right] \ bigg | _0 ^ L - \ frac {dw } {dx} EI \ frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} \ bigg | _0 ^ L + \ int_0 ^ L \ frac {d ^ 2w} {dx ^ 2} EI \ frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} = 0 $$

Riorganizzando i termini valutati a 0 e L sul lato destro, otterrai l'equazione che dichiari.



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Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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