Domanda:
Modelli in scala di pennacchi termici
HCAI
2015-02-09 00:01:11 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Voglio guardare il pennacchio di calore termico di un essere umano nell'aria ferma in una stanza. Quindi ho un serbatoio d'acqua con una serpentina / cilindro di riscaldamento al suo interno. Come faccio a calcolare quale sarà la potenza termica della mia serpentina di riscaldamento per imitare quella di un essere umano ($ 100 W $) nell'aria?

enter image description here

Si basa sulla somiglianza dimensionale tra acqua: aria, numero di Reynolds e numero di Reyleigh. Il numero di Rayleigh, che regola l'assetto, è dato da: $ \ dfrac {g \ beta} {\ nu \ alpha \ kappa} qx ^ 4 $, dove:

$ \ alpha = $ diffusività termica $ \ beta = $ coefficiente di espansione termica $ \ kappa = $ conducibilità termica $ \ nu = $ viscosità cinematica $ x $ = distanza dalla superficie riscaldata

Ma non capisco davvero se il numero di Rayleigh sia quello giusto valore per tentare di mantenere lo stesso valore tra i due scenari. Qualsiasi aiuto sarebbe molto apprezzato.

MODIFICA:

Quindi, utilizzando la formula Q * per ottenere somiglianze tra i due media

$ \ dfrac {Q_ {air}} {\ left (\ rho C_pT _ {\ infty} g ^ {1/2} x \ right) _ {air}} = \ dfrac {Q_ {water}} {\ left (\ rho C_pT _ {\ infty} g ^ {1/2} x \ right) _ {water}} $

e riorganizzare per ottenere Q_water:

$ Q_ {water} = Q_ {air} \ dfrac {\ left (\ rho C_pT _ {\ infty} g ^ {1/2} x \ right) _ {water}} {\ left (\ rho C_pT _ {\ infty} g ^ {1/2} x \ right) _ {air}} $

Quindi sostituendo:

AIR: $ \ rho = 1.225kg / m ^ 3 $, $ C_p = 1.005kJ / kg \ , K $, $ T _ {\ infty} = 21 ^ {\ circ} C $, $ x = 0,1 m $, $ Q_ {aria} = 100 W $.

ACQUA: $ \ rho = 1000 kg / m ^ 3 $, $ C_p = 4,19 kJ / kg \, K $, $ T _ {\ infty} = 8 ^ {\ circ} C $, $ x = 0,1 m $, $ Q_ {aria} =? W $ .

Ottengo $ Q_ {water} \ simeq 1.2 \ times10 ^ 4W $ ... Ma questo sembra troppo alto. Può essere vero?

Una risposta:
#1
+8
Ben Trettel
2015-02-09 01:07:08 UTC
view on stackexchange narkive permalink

I pennacchi termici sono stati ampiamente studiati per applicazioni di sicurezza antincendio. Spesso conosci la velocità di rilascio del calore $ Q $ ma poco di più. Un gruppo adimensionale chiamato $ Q ^ * $ (pronunciato "stella Q") viene utilizzato al posto di parametri più comuni come il numero di Reynolds e il numero di Rayleigh. Questo parametro può essere considerato come la forza della fonte di calore a una particolare distanza. Correla bene per i pennacchi termici. È possibile derivare questo gruppo non dimensionando le equazioni di Navier-Stokes e impostando gruppi adimensionali uguali a 1 per definire la lunghezza e la velocità caratteristiche. Per ulteriori informazioni, consulta l'articolo di Gunnar Heskestad su questo gruppo adimensionale.

Nel caso della modellazione del fuoco, generalmente le persone ignorano la somiglianza dei numeri di Prandtl e alcune altre cose, quindi dicono le distribuzioni di temperatura e velocità sono solo funzioni di $ Q ^ * $.

I parametri più rilevanti sono:

$$ T ^ * \ equiv \ frac {T - T_ \ infty} {T_ \ infty} $$

$$ Q ^ * \ equiv \ frac {Q} {\ rho c_p T_ \ infty (gx) ^ {1/2} x ^ 2} $$

Per essere più espliciti, se conosci la temperatura ($ T $) in funzione dell'altezza ($ x $) sopra l'oggetto caldo, puoi trovare $ T ^ * $ in funzione di $ Q ^ * $. $ Q ^ * $ è come una coordinata spaziale adimensionale.

A rigor di termini, la tua configurazione non sarà esattamente simile perché la tua bobina e un essere umano non sono geometricamente simili (e la distribuzione del flusso di calore sulla bobina probabilmente non è simile neanche). Nella tua foto, presumo che l'uomo sarebbe sdraiato se si desidera una ragionevole somiglianza geometrica. Il campo lontano dovrebbe essere a posto e presumo che questo sia ciò che ti interessa [2].

Inoltre non è esattamente chiaro a quale quantità sei interessato. Suppongo che tu voglia ottenere la distribuzione della temperatura nel pennacchio, diciamo, ad un'altezza $ x_1 $ sopra in realtà che sarebbe $ x_2 $ nel tuo modello. Correggimi se è sbagliato.

Inoltre, anche se non faccio esperimenti, ho immaginato che la tua serpentina di riscaldamento abbia un'uscita di $ W $, non un flusso di calore. Fammi sapere se sbaglio e cambierò la mia risposta.

Ignorare gli altri parametri può o non può essere valido nel tuo caso (sembra che vada bene per la sicurezza antincendio [1]), quindi farò l'analisi supponendo che non lo sia. Puoi saltare il resto se vuoi presumere che i due parametri menzionati siano tutto ciò di cui hai bisogno.

Puoi ottenere il numero di gruppi richiesti dal teorema di Buckingham $ \ pi $.

I parametri rilevanti che ho identificato sono $ T $ (temperatura all'altezza $ x $), $ x $, $ Q $, $ g $, $ \ alpha $, $ \ beta $, $ \ nu $, $ T_ \ infty $, $ \ rho $ e $ c_p $. Il teorema $ \ pi $ di Buckingham suggerisce che qui ci saranno 6 gruppi adimensionali. (Supponendo che non mi manchi un parametro. Devo anche controllare che la matrice dimensionale non sia carente di rango. Per maggiori dettagli sull'analisi dimensionale, consiglio di leggere Analisi dimensionale e teoria dei modelli di Henry Langhaar .)

Quindi, i primi 5 gruppi adimensionali sono:

$$ T ^ * \ equiv \ frac {T - T_ \ infty} {T_ \ infty} $$

$$ Q ^ * \ equiv \ frac {Q} {\ rho c_p T_ \ infty (gx) ^ {1/2} x ^ 2} $$

$$ Pr \ equiv \ frac {\ nu} {\ alpha} $$

$$ Gr_x \ equiv \ frac {g \ beta (T - T_ \ infty) x ^ 3} {\ nu ^ 2} $$

$$ \ rho ^ * \ equiv \ beta (T - T_ \ infty) $$

Questo quinto gruppo è ispirato all'approssimazione di Boussinesq. In tale approssimazione, la differenza di densità è modellata come una differenza di temperatura. La somiglianza in questo parametro garantisce che il campo della densità sia simile.

Per il gruppo rimanente, avevo bisogno di essere un po 'creativo. La somiglianza non richiede che questo gruppo assuma una forma particolare, ma è meglio attenersi a parametri con significati fisici noti (o parametri che possono essere derivati ​​da equazioni di governo, che di solito hanno significati fisici). Non riesco a pensare a niente di buono fuori mano, ma il seguente funziona:

$$ \ Pi_6 \ equiv \ frac {g x} {c_p (T - T_ \ infty)} $$

Devi abbinare tutti questi per somiglianza. Dovrebbe essere chiaro che mettere insieme tutti questi elementi sarà una sfida. Come ho detto, sembra essere una pratica comune nella sicurezza antincendio ignorare tutto tranne $ T ^ * $ e $ Q ^ * $. Non so se è perché gli altri parametri non contano o se è solo per comodità. Scusa se questa non è la risposta che ti aspettavi, ma come per molte cose in ingegneria, la risposta non è facile.

[1] Mi sono ricordato in seguito che la non dimensionalizzazione delle equazioni di Navier-Stokes suggerisce che $ Q ^ * $ è l'unico parametro nella soluzione. Quindi forse $ T ^ * $ e $ Q ^ * $ sono tutto ciò di cui hai bisogno e l'approccio $ \ pi $ di Buckingham ti dà solo parametri superflui. Non ricordo tutti i dettagli della non dimensionalizzazione, ma se c'è interesse sono sicuro di poterlo riprodurre.

[2] L'argomento teorico che supporta l'uso di $ Q ^ * $ presuppone che la sorgente di calore sia una sorgente puntiforme. Quindi è davvero corretto solo lontano, perché la temperatura va all'infinito nella sorgente puntiforme nel modello. Questo perché $ Q ^ * $ va all'infinito a $ x = 0 $, come puoi vedere dalla sua definizione. Se stai sviluppando una correlazione, ad esempio $ T ^ * = a (Q ^ *) ^ b $ dove $ a $ e $ b $ sono coefficienti, puoi aggirare questo problema definendo una "origine virtuale", che ti consentirà sviluppare una correlazione senza singolarità. Fondamentalmente, invece di usare $ x $ definisci usa invece $ x_ \ text {virtual} = x + x_ \ text {origin} $. Cioè, $ Q ^ * $ ora è scritto:

$$ Q ^ * \ equiv \ frac {Q} {\ rho c_p T_ \ infty (g [x + x_ \ text {origin}] ) ^ {1/2} (x + x_ \ text {origin}) ^ 2} $$

Scegli $ x_ \ text {origin} $ in modo che la tua correlazione si adatti meglio. È un altro parametro nella correlazione. Se conosci la temperatura della superficie, puoi scegliere $ x_ \ text {origin} $ in modo tale che la temperatura della superficie sia ciò che la correlazione restituisce a $ x = 0 $.

Inoltre, poiché l'argomento che supporta l'uso di $ Q ^ * $ fa davvero l'ipotesi del campo lontano dall'inizio, non è chiaro che il semplice utilizzo di un'origine virtuale sia sufficiente per rendere valida una correlazione nel campo vicino ( anche se hai somiglianze geometriche). Non posso dire se gli altri fattori che ho identificato siano influenzati o meno.

+1 per aver portato un esempio da una disciplina diversa e aver evidenziato ipotesi
Ciao Ben, benvenuto in ingegneria.SE! Questa è un'ottima risposta, ottimo lavoro!
Molte grazie! Questo è esattamente quello che speravo e anche di più. Tuttavia, ho una query che riguarda il valore da scegliere per x quando si confrontano i modelli in quanto si tratta di una variabile locale piuttosto che di una quantità globale. Significa che dovrei provare a mantenere Q * lo stesso in tutti i punti in entrambi i domini? In realtà sono interessato al pennacchio molto vicino al cilindro ... Come cambia l'analisi o la previsione? Ancora molte grazie per questa ottima risposta!
@HCAI: Ho aggiunto una breve parte notando che $ Q ^ * $ prende il posto della coordinata spaziale, quindi è impossibile rendere costante $ Q ^ * $ (ciò significherebbe che c'è solo una posizione spaziale). Ho anche aggiunto una nota a piè di pagina sull'utilizzo di $ Q ^ * $ nel campo vicino. Fatemi sapere se avete altre domande. Inoltre, voglio sottolineare che gli sperimentatori della sicurezza antincendio usano una tecnica chiamata "modellazione dell'acqua salata" che potresti trovare pertinente a questo; prova alcune ricerche su Google per maggiori informazioni.
@BenTrettel Ho capito che Q_water deve essere di circa 12000 W, ma sembra enorme. Può essere giusto o ho completamente frainteso le formule? (Ho aggiunto il mio lavoro nella domanda)
@HCAI Credo che il trucco sia che il calcolo $ Q ^ * $ utilizzato presuppone un mezzo (gas) con espansività volumetrica $ \ gamma = T ^ {- 1} $. È lontano dall'acqua. Correlati: c'è un motivo per cui si desidera utilizzare l'acqua anziché l'aria per gli esperimenti in scala?
@Dan Oh è un po 'inaspettato! ... C'è una soluzione alternativa? Altrimenti sono un po 'bloccato eek! Volevo usare l'acqua (o altro liquido viscoso) perché è più facile usare le tecniche di visualizzazione PIV, PTV e LDA.
Ho appena controllato e la derivazione di $ Q ^ * $ usa l'approssimazione di Boussinesq, che non presuppone che $ \ beta $ assuma la forma di un gas ideale. Per quanto ne so, questo tipo di somiglianza viene utilizzato negli esperimenti con l'acqua salata (di nuovo, suggerirei di cercare documenti che spieghino questo).
Per quanto riguarda i numeri, sembra che tu abbia qualche errore di matematica. Innanzitutto, la potenza su $ x $ è $ 2,5 $, non $ 1 $, anche se questo non cambierà il tuo risultato poiché non stai scalando nulla nello spazio. Ho quel $ Q_ \ text {water} \ approx 3 \ cdot 10 ^ 5 ~ \ text {W} $, che è ancora grande. Sembra che sia necessario ridurre le dimensioni del modello per ottenere un numero ragionevole, ad esempio l'uso di $ x_ \ text {water} = 1 ~ \ text {cm} $ sembra ragionevole (circa 1 kW).
@HCAI: Ho dimenticato di includerti in modo da ricevere una notifica della mia risposta.
@BenTrettel Grazie, vedo l'errore. Il dilema che ho è che in realtà sono interessato alla temperatura del campo vicino. Pensi che il pennacchio termico / strato limite si comporterà effettivamente in modo simile tra i due scenari? La mia altra opzione è ignorare la somiglianza di input di calore e concentrarmi sulla velocità del pennacchio sopra il riscaldatore dal confronto dei numeri di Reynolds. Cosa pensi?
@HCAI: Ci saranno sicuramente delle somiglianze. La difficoltà è che senza somiglianza geometrica non è chiaro come confrontare le posizioni, o anche se un confronto è valido. Non so come rispondere a nessuna delle due domande in questo momento. Per quanto riguarda la concentrazione sulla velocità del pennacchio sopra il riscaldatore, non sono abbastanza sicuro di cosa intendi. Potresti spiegare in modo più dettagliato?


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
Loading...