Domanda:
Condizione al contorno del rapporto di Poisson
JLo
2017-02-01 18:20:11 UTC
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Diciamo che ho un grande corpo isotropo in tensione uniassiale, su cui viene applicato un piccolo pezzo di pellicola rettangolare. Pensa a un estensimetro su un corpo grande, ma l '"estensimetro" è un singolo strato isotropo continuo.

Lascia che le direzioni x e y siano sulla superficie del corpo grande e la direzione z normale (penetrando attraverso l'estensimetro).

Nel corpo grande ottengo $ \ sigma_x = \ sigma_0; \ sigma_y = \ sigma_z = 0 $ .Pertanto

$$ \ begin {align} \ epsilon_x & = \ frac {\ sigma_x} {E} \\\ epsilon_y = \ epsilon_z & = \ frac {\ sigma_x \ nu} {E} \ end {align} $$

Qual è la tensione nel corpo piccolo?

Il mio pensiero era: Supponendo di avere uno strato limite ideale e trascurabile spessore del film, la tensione dovrebbe essere la stessa del corpo grande. Questo è coerente con la letteratura per $ \ epsilon_x $ e $ \ epsilon_y $. Ma continuo a leggere un'espressione per $ \ epsilon_z $ nel corpo piccolo che coinvolge $ \ nu_B $ del corpo grande e $ \ nu_s $ del corpo piccolo:

$$ \ epsilon_ {z, smallbody} = - \ frac {\ nu_s (1- \ nu_B)} {1- \ nu_s} \ sigma_x / E $$

Qualcuno può spiegare come ottenere questo risultato?

Aspetta, la letteratura afferma che $ \ epsilon_y \ neq \ epsilon_z $ per il grande corpo in tensione uniassiale?
Non solo per corpo piccolo. Ho modificato la domanda per renderlo più chiaro.
Una risposta:
Wasabi
2017-02-01 20:33:08 UTC
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Vorrei iniziare affermando che la mia risposta non è esattamente la stessa di quella che hai trovato in letteratura. È quasi lo stesso, ma un segno è cambiato. Non so se l'hai scritto male o se ho sbagliato da qualche parte ( molto possibile , per favore correggimi se trovi il mio errore). Indipendentemente da ciò, sono così vicino che sono sicuro che l'errore sia da qualche parte in questa pagina (e non nella letteratura, ovviamente). Ed è abbastanza vicino per mostrarti da dove viene quell'equazione, che è la tua vera domanda.


Vale la pena notare una differenza fondamentale tra i corpi piccoli e grandi: il corpo grande è in uniassiale tensione, ma il piccolo è sotto stress biassiale. È sotto tensione sull'asse x ma sotto compressione sull'asse y. Ora, le equazioni di deformazione per lo stress biassiale sono:

$$ \ begin {align} \ epsilon_x & = \ dfrac {1} {E} (\ sigma_x - \ nu \ sigma_y) \\\ epsilon_y & = \ dfrac {1} {E} (- \ nu \ sigma_x + \ sigma_y) \\\ epsilon_z & = \ dfrac {- \ nu} {E} (\ sigma_x + \ sigma_y) \\\ end {align} $ $

Il tuo corpo piccolo è sotto noto $ \ epsilon_x $ e $ \ epsilon_y $ (uguale a quelli del corpo grande). Da questo possiamo calcolare $ \ sigma_ {x, s} $ e $ \ sigma_ {y, s} $. (Tutte le variabili con indice $ s $ sono per il corpo piccolo, $ b $ per il corpo grande)

$$ \ begin {align} \ epsilon_ {x, s} = \ epsilon_ {x, b } & = \ dfrac {1} {E_s} (\ sigma_ {x, s} - \ nu_s \ sigma_ {y, s}) \\\ dfrac {\ sigma_ {x, b}} {E_b} & = \ dfrac {1} {E_s} (\ sigma_ {x, s} - \ nu_s \ sigma_ {y, s}) \\\ quindi \ sigma_ {x, s} & = \ dfrac {E_s \ sigma_ {x, b}} {E_b} + \ nu_s \ sigma_ {y, s} \\\ epsilon_ {y, s} = \ epsilon_ {y, b} & = \ dfrac {1} {E_s} (- \ nu_s \ sigma_ {x, s } + \ sigma_ {y, s}) \\\ dfrac {\ nu_b \ sigma_ {x, b}} {E_b} & = \ dfrac {1} {E_s} (- \ nu_s \ sigma_ {x, s} + \ sigma_ {y, s}) \\\ quindi \ sigma_ {y, s} & = \ dfrac {E_s \ nu_b \ sigma_ {x, b}} {E_b} + \ nu_s \ sigma_ {x, s} \\ \ quindi \ sigma_ {x, s} & = \ dfrac {E_s \ sigma_ {x, b}} {E_b} + \ nu_s \ left (\ dfrac {E_s \ nu_b \ sigma_ {x, b}} {E_b} + \ nu_s \ sigma_ {x, s} \ right) \\\ sigma_ {x, s} & = \ dfrac {E_s \ sigma_ {x, b}} {E_b} \ cdot \ dfrac {1 + \ nu_s \ nu_b} {1- \ nu_s ^ 2} \\\ quindi \ sigma_ {y, s} & = \ dfrac {E_s \ nu_b \ sigma_ {x, b}} {E_b} + \ nu_s \ left (\ dfrac {E_s \ sigma_ {x, b}} {E_b} \ cdot \ dfrac {1 + \ nu_s \ nu_b} {1- \ nu_s ^ 2} \ right) \\\ sigma_ {y, s} & = \ dfrac {E_s \ sigma_ { x, b}} {E_b} \ left (\ nu_b + \ nu_s \ dfrac {1 + \ nu_s \ nu_b} {1- \ nu_s ^ 2} \ right) \ end {align} $$

Ora li inseriamo nell'equazione $ \ epsilon_z $. C'è molto da semplificare qui, quindi mostrerò ciascuno dei passaggi.

$$ \ begin {align} \ epsilon_z & = - \ dfrac {\ nu_s} {E_s} \ left (\ dfrac {E_s \ sigma_ {x, b}} {E_b} \ cdot \ dfrac {1 + \ nu_s \ nu_b} {1- \ nu_s ^ 2} + \ dfrac {E_s \ sigma_ {x, b}} {E_b} \ sinistra (\ nu_b + \ nu_s \ dfrac {1 + \ nu_s \ nu_b} {1- \ nu_s ^ 2} \ right) \ right) \\\ epsilon_z & = - \ nu_s \ left (\ dfrac {\ sigma_ {x , b}} {E_b} \ cdot \ dfrac {1 + \ nu_s \ nu_b} {1- \ nu_s ^ 2} + \ dfrac {\ sigma_ {x, b}} {E_b} \ left (\ nu_b + \ nu_s \ dfrac {1 + \ nu_s \ nu_b} {1- \ nu_s ^ 2} \ right) \ right) \\\ epsilon_z & = - \ dfrac {\ nu_s \ sigma_ {x, b}} {E_b} \ left ( \ dfrac {1 + \ nu_s \ nu_b} {1- \ nu_s ^ 2} + \ nu_b + \ nu_s \ dfrac {1 + \ nu_s \ nu_b} {1- \ nu_s ^ 2} \ right) \\\ epsilon_z & = - \ dfrac {\ nu_s \ sigma_ {x, b}} {E_b} \ left (\ dfrac {1 + \ nu_s \ nu_b} {1- \ nu_s ^ 2} (1+ \ nu_s) + \ nu_b \ right ) \\\ epsilon_z & = - \ dfrac {\ nu_s \ sigma_ {x, b}} {E_b} \ left (\ dfrac {1 + \ nu_s \ nu_b} {1- \ nu_s} + \ nu_b \ right) \ \\ epsilon_z & = - \ dfrac {\ nu_s \ sigma_ {x, b}} {E_b} \ left (\ dfrac {1 + \ nu_s \ nu_b} {1- \ nu_s} + \ dfrac {(1- \ nu _s) \ nu_b} {1- \ nu_s} \ right) \\\ epsilon_z & = - \ dfrac {\ nu_s \ sigma_ {x, b}} {E_b} \ left (\ dfrac {1 + \ nu_s \ nu_b + \ nu_b- \ nu_s \ nu_b} {1- \ nu_s} \ right) \\\ epsilon_z & = - \ dfrac {\ nu_s \ sigma_ {x, b}} {E_b} \ cdot \ dfrac {1 + \ nu_b} {1- \ nu_s} \\\ end {align} $$

È quasi identica all'equazione che hai fornito in letteratura, con l'eccezione che la mia equazione ha $ 1 + \ nu_b $, mentre la letteratura ha $ 1 - \ nu_b $. Non riesco a capire dove ho sbagliato (o se l'hai scritto male), ma questo è così vicino che credo che dovrebbe dimostrare da dove la letteratura ha tratto questa equazione.

Wow, grazie mille! L'equazione di deformazione per $ \ epsilon_z $ ha un errore di battitura - dice $ \ epsilon_x $. Sto ancora lavorando al resto. Ho ricontrollato la documentazione e l'ho copiata correttamente (DOI 10.1016 / 0040-6090 (74) 90001-7, eq.18)
Hacked in Matlab e fornisce esattamente la tua soluzione. Quindi sembra che la mia letteratura sia sbagliata o usi una convenzione di segni diversa o ho capito male? Cercherò di capire.
Mi è appena venuto in mente che potrebbe essere perché ho definito $ \ epsilon_ {y, b} = \ dfrac {\ nu \ sigma} {E} $, ma penso che dovrebbe essere negativo (compressione). Non riesco a ripetere i calcoli per vedere se è così adesso, proverò più tardi (oppure puoi provare su Matlab).
Buon punto! Controllato Matlab e dà $ - \ dfrac {1- \ nu_b} {1- \ nu_s} $ (omettendo l'altra frazione). Ed è coerente con la letteratura perché ho trovato il mio errore. Modificherà la domanda per riflettere il segno. È anche plausibile perché il termine darà sempre un $ \ epsilon_z $ negativo. Quindi sono abbastanza sicuro che questa sia la risposta corretta.


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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