Non sono del tutto sicuro di seguire le tue derivazioni, in particolare non sono sicuro di dove trovi l'equazione per la lunghezza di miscelazione di Von Karman e perché l'equivalenza di tau e $ \ tau_0 $ ti dà il modello di turbolenza di Prandtl che tu scrivi in seguito (mi scuso perché non riesco a formattare correttamente le equazioni, ma mi riferisco alle equazioni che scrivi subito dopo aver dichiarato $ \ tau = \ tau_0 $).
Indipendentemente da ciò, nel contesto di l'ultima domanda, in genere non è necessario risolvere alcuna equazione differenziale una volta che ti hanno detto che la legge di sovrapposizione logaritmica designa il flusso, che è: $ u / U ^ * = C_1 \ ln (y / R) + C_2 $ . In Fluid Mechanics di White a pagina 364 dice altrettanto "Per il flusso turbolento del tubo, non abbiamo bisogno di risolvere un'equazione differenziale, ma invece procedere con la legge logaritmica ..."
In risposta alla necessità per mettere in relazione il sottostrato viscoso, credo che la risposta sia no. Una volta che la domanda ti ha detto che il flusso è determinato dalla relazione logaritmica, qualsiasi equazione di sottostrato viscoso non sarà valida per quel flusso specifico. In questo caso, puoi assumere la costante di Von Karman $ k = 0,41 $ (per il flusso del tubo) e $ C_1 = 1 / k $ e $ C_2 = 5,0 $ (anche per il flusso del tubo). Certo, questo è stato appena estratto dai tavoli, quindi forse non è quello che stai cercando. Tuttavia è così che ci è stato chiesto di risolvere questi problemi. Dopo aver utilizzato questi valori, devi solo effettuare una semplice sostituzione utilizzando i dati forniti e calcolare $ U ^ * $ dall'equazione $ U ^ * = \ sqrt {\ tau_0 / \ rho } $. (vedi modifica sotto)
In risposta alla domanda sulle condizioni al contorno, la mia comprensione è che l'equazione fornita nella domanda è la legge di sovrapposizione logaritmica. Queste costanti non sono state risolte utilizzando condizioni al contorno; sono stati risolti con l'esperimento. Puoi vederlo qui https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_the_wall#General_logarithmic_formulation.
Se hai familiarità con l'equazione delle tensioni di Reynold, può essere ridotta in 2D per ottenere:
$ \ tau + \ tau_ {turbulence} = \ tau_ {wall} $ (o nella tua notazione $ \ tau_0 $)
Da qui può essere non dimensionato e quindi le condizioni al contorno vengono utilizzate con QUESTA equazione al fine di generare la legge di sovrapposizione logaritmica e altre soluzioni valide per descrivere il flusso. In altre parole, la legge di sovrapposizione logaritmica è il risultato dell'equazione delle tensioni di Reynold e le costanti nella legge di sovrapposizione logaritmica sono state determinate sperimentalmente. Spero che questo aiuti e mi scuso ancora per la pessima formattazione.
MODIFICA: ho commesso un errore significativo nel terzo paragrafo. La domanda ti chiede di trovare la tensione di taglio, ma "fare una semplice sostituzione utilizzando i dati forniti" non ti aiuterà a farlo, poiché non conosci né U * né $ \ tau_o $.
In particolare, affinché l'equazione sia la legge di sovrapposizione logaritmica, allora
$ y / R = (y * U ^ *) / \ nu $, dove $ \ nu $ è la viscosità cinematica. -> Se non sei sicuro da dove provenga, leggi questo: https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_the_wall. Sta semplicemente usando le equazioni normalizzate.
Da questo, puoi calcolare $ \ tau_o $ in termini di R, come da domanda. Per fare ciò, identifica U * in termini di R, quindi usa $ U ^ * = \ sqrt {\ tau_o / \ rho} $. Questo ti permetterà di risolvere la tau in termini di R.